Question

如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，∠ECF=135°，当AB=时．
（1）求证：△ACE∽△BFC；
（2）求AE•BF的值．

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∠ECF=135°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，∠ECA+∠FCB=45°．
∵∠E+∠ECA=∠CAB=45°（三角形外角定理），
∴∠E=∠FCB．
又∵∠CAE=∠FBC，
∴△ACE∽△BFC；

（2）∵在直角△ABC中，AC=BC，AB=，
∴AC=BC=1．
∵△ACE∽△BFC，
∴=，
∴AE•BF=AC•BC=1×1=1，即AE•BF的值为1．
分析：（1）根据等腰直角三角形的性质、三角形外角定理以及补角的定义证得∠E=∠FCB，∠CAE=∠FBC，所以△ACE∽△BFC；
（2）利用勾股定理在等腰直角三角形ABC中求得AC=BC=1；然后由（1）中的△ACE∽△BFC的对应边成比例列出比例式=，所以易求AE•BF的值．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质．本题通过△ACE和△BFC中的两组对应角相等来证明这两个三角形相似的．