Question

如图1，抛物线C₁：y=x²+bx+c的顶点为A(1，-

13

4

)，与y轴的负半轴交于B点．
（1）求抛物线C₁的解析式及B点的坐标；
（2）如图2，将抛物线C₁向下平移与直线AB相交于C、D两点，若BC+AD=AB，求平移后的抛物线C₂的解析式；
（3）如图3在（2）中，设抛物线C₂与y轴交于G点，顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNG=90°，请你分析实数m的变化范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题,压轴题

分析：（1）根据二次函数的顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），然后代入即可求出b和c的值，令x=0，求出此时的y，即是点B的纵坐标；
（2）过A、B两点分别作x轴、y轴的垂线，交于H点，过C、D两点分别作x轴、y轴的垂线，交于Q点，由（1）有直线AB的解析式为：y=-x-

9

4

，设C（m，-m-

9

4

），则D（m+2，-m-

17

4

），代入抛物线C₂的解析式为y=x²-2x+t，求出即可；
（3）当M点在F点的右边时，作EM⊥GE交x轴于M点，当M点在F点的左边时，作GH⊥EF于H点，则△MNF∽△NGH，利用相似三角形的性质以及一元二次方程根的判别式得出m的取值范围．

解答：解：（1）由题意得：-

b

2a

=1，

4ac-b2

4a

=-

13

4

，其中a=1，
解得：b=-2，c=-

9

4

，
∴抛物线C₁的解析式：y=x²-2x-

9

4

；
令x=0，y=-

9

4

，
∴B点的坐标为（0，-

9

4

）；

（2）过A、B两点分别作x轴、y轴的垂线，交于H点，过C、D两点分别作x轴、y轴的垂线，交于Q点，
∵BC+AD=AB，∴CD=2AB，
∵AH=BH=1，∴CQ=DQ=2．
设直线AB解析式为：y=kx+b，
由（1）中A，B两点坐标得出：

k+b=- 13 4 b=- 9 4

，
解得：

k=-1 b=- 9 4

，
则直线AB的解析式为：y=-x-

9

4

，
设C（m，-m-

9

4

），则D（m+2，-m-

17

4

），
设抛物线C₂的解析式为y=x²-2x+t，
∵C、D两点在抛物线C₂上，
则有：

-m- 9 4 =m2-2m+t -m- 17 4 =(m+2)2-2(m+2)+t

解得：

m=- 1 2 t=-3

，
∴抛物线C₂的解析式为y=x²-2x-3；

（3）由（2）有OF=1，FE=4，OG=3，∴∠GEF=45°，
当M点在F点的右边时，
作EM⊥GE交x轴于M点，
则∠FEM=45°，
∴FM=EF=4，
∴OM=5，
∴m≤5；
当M点在F点的左边时，作GH⊥EF于H点，
∵∠MNG=90°，
则△MNF∽△NGH，
∴

MF

NH

=

FN

GH

，
设FN=n，则NH=3-n，
∴

1-m

3-n

=

n

1

，得：n²-3n-m+1=0，
∴△=（-3）²-4（-m+1）≥0，
解得：m≥-

5

4

．
∴m的变化范围是-

5

4

≤m≤5．

点评：本题考查了二次函数的综合运用以及相似三角形的判定与性质，根据已知结合图象进行分类讨论得出是解题关键．