Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.

(1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；

(2)若设BP为x,CE为y，试确定y与x的函数关系式.当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

(3)若PE∥BD，试求出此时BP的长.

E

 

Answer 1

【答案】

(1)∵△APE≌△ADE 

           ∴AP=AD=3

在Rt△ABP中，BP=

        (2) ∵AP⊥PE

            ∴Rt△ABP∽Rt△PCE

 

            ∴     即

∴ 

∴当 

(3)设BP=x,

∵PE∥BD 

∴△CPE∽△CBD                 

∴

 即

化简得

解得

∴当BP= 时, PE∥BD.

【解析】（1）根据全等三角形的对应边相等知AP=AD=3；然后在Rt△ABP中利用勾股定理可以求得BP的长度；

（2）根据相似三角形Rt△ABP∽Rt△PCE的对应边成比例列出关于x、y的方程，通过二次函数的最值的求法来求y的最大值；

（3）如图，连接BD．利用（2）中的函数关系式设BP=x，则CE=-x²+x，然后根据相似三角形△CPE∽△CBD的对应边成比例列出关于x的一元二次方程，通过解该方程即可求得此时BP的长度．