Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．

（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）直接根据勾股定理求出BC的长度；
（2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可；
（3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB=BP时；②当AB=AP时；③当BP=AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，BC²=AB²-AC²=10²-6²=64，
∴BC=8（cm）；
（2）由题意知BP=tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=8cm，即t=4；
②当∠BAP为直角时，BP=tcm，CP=（t-8）cm，AC=6cm，
在Rt△ACP中，
AP²=6²+（t-8）²，
在Rt△BAP中，AB²+AP²=BP²，
即：10²+[6²+（t-8）²]=t²，
解得：t=$\frac{25}{4}$，
故当△ABP为直角三角形时，t=4或t=$\frac{25}{4}$；
（3）①当AB=BP时，t=5；
②当AB=AP时，BP=2BC=16cm，t=8；
③当BP=AP时，AP=BP=tcm，CP=|t-8|cm，AC=6cm，
在Rt△ACP中，AP²=AC²+CP²，
所以t²=6²+（t-8）²，
解得：t=$\frac{25}{8}$，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t=5或t=8或t=$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．