题目内容
如图，BD是⊙O的直径，⊙O经过A、B、C三点且AB=AC，AD交BC于点E，AE=4，ED=8．（1）求证：△ABE∽△ADB，并求AB的长；
（2）延长DB到F，使BF=BO，连接FA，证明直线FA与⊙O相切；
（3）求sinF的值．
分析：（1）易得△ABE与△ADB的两个内角相等，故△ABE∽△ADB，进而可得
=
，代入数据可得答案；
（2）连接OA，根据勾股定理可得BF=BO=AB，易得∠OAF=90°，故可得直线FA与⊙O相切；
（3）利用（2）中结论即可得出sinF=
=
．
| AB |
| AD |
| AE |
| AB |
（2）连接OA，根据勾股定理可得BF=BO=AB，易得∠OAF=90°，故可得直线FA与⊙O相切；
（3）利用（2）中结论即可得出sinF=
| AO |
| FO |
| 1 |
| 2 |
解答：
证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D．
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴
=
，
∴AB2=AD•AE=（AE+ED）•AE=（4+8）×4=48，
∴AB=4
；
（2）证明：连接OA，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴BD=
=
=8
，
∴BF=BO=
BD=
×8
=4
．
∵AB=4
，
∴BF=BO=AB，即△ABO为等边三角形，∠BFA=∠BAF，
∴∠BAO=∠OBA=60°，又∠OBA=∠BFA+∠BAF，
∴∠BFA=∠BAF=30°，
∴∠OAF=∠BAF+∠BAO=90°，
∴直线FA与⊙O相切．
（3）解：∵∠OAF=90°，
∴sinF=
=
．
证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D．
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴
| AB |
| AD |
| AE |
| AB |
∴AB2=AD•AE=（AE+ED）•AE=（4+8）×4=48，
∴AB=4
| 3 |
（2）证明：连接OA，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴BD=
| AB2+AD2 |
| 122+48 |
| 3 |
∴BF=BO=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
∵AB=4
| 3 |
∴BF=BO=AB，即△ABO为等边三角形，∠BFA=∠BAF，
∴∠BAO=∠OBA=60°，又∠OBA=∠BFA+∠BAF，
∴∠BFA=∠BAF=30°，
∴∠OAF=∠BAF+∠BAO=90°，
∴直线FA与⊙O相切．
（3）解：∵∠OAF=90°，
∴sinF=
| AO |
| FO |
| 1 |
| 2 |
点评：本题主要考查了圆的切线的判定定理的证明．本题考查常见的几何题型，包括切线的判定及相似三角形证明与性质的运用，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
练习册系列答案
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