Question

如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C 重合），分别过B、C、D 作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是

2

≤BB′+CC′+DD′≤2

．

Answer 1

分析：首先连接AC，DP．由正方形ABCD的边长为1，即可得：S_△ADP=

1

2

S_{正方形ABCD}=

1

2

，S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC=

1

2

S_{正方形ABCD}=

1

2

，继而可得

1

2

AP•（BB′+CC′+DD′）=1，又由1≤AP≤

2

，即可求得答案．

解答：解：连接AC，DP．
∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，
∴AB=CD，S_{正方形ABCD}=1，
∵S_△ADP=

1

2

S_{正方形ABCD}=

1

2

，S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC=

1

2

S_{正方形ABCD}=

1

2

，
∴S_△ADP+S_△ABP+S_△ACP=1，
∴

1

2

AP•BB′+

1

2

AP•CC′+

1

2

AP•DD′=

1

2

AP•（BB′+CC′+DD′）=1，
则BB′+CC′+DD′=

2

AP

，
∵1≤AP≤

2

，
∴当P与B重合时，有最大值2；
当P与C重合时，有最小值

2

．
∴

2

≤BB′+CC′+DD′≤2．
故答案为：

2

≤BB′+CC′+DD′≤2．

点评：此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC，DP，根据题意得到S_△ADP+S_△ABP+S_△ACP=1，继而得到BB′+CC′+DD′=

2

AP

．