Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，A（-3，0），B（0，1），形状相同的抛物线C_n（n=1，2，3，4，…） 的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，那么这些抛物线称为“美丽抛物线”，根据上述规律，抛物线C₂的顶点坐标为

（3，2）

； 若这些“美丽抛物线”与抛物线y=x²+1形状相同，试写出抛物线C₁₀的解析式

y=（x-144）²+49

．

Answer 1

分析：根据A（-3，0），B（0，1）的坐标求直线AB的解析式为y=

1

3

x+1，因为顶点C₂的在直线AB上，C₂坐标可求；根据横坐标的变化规律可知，C₁₀的横坐标为144，代入直线AB的解析式y=

1

3

x+1中，可求纵坐标．

解答：解：设直线AB的解析式为y=kx+b
则

-3k+b=0 b=1

，
解得：

k= 1 3 b=1

故直线AB的解析式为y=

1

3

x+1，
∵抛物线C₂的顶点坐标的横坐标为3，且顶点在直线AB上
∴抛物线C₂的顶点坐标为（3，2）
∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为：2，3，5，8，13，21，34，55，89，144…
∴每个数都是前两个数的和，
∴抛物线C₁₀的顶点坐标的横坐标为：144，
则纵坐标为：

1

3

×144+1=49，
∴抛物线C₁₀的顶点坐标为（144，49），
故抛物线C₁₀的解析式为：y=（x-144）²+49．
故答案为：（3，2），y=（x-144）²+49．

点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式和点与函数关系式的关系，培养学生的分析归纳能力，得出坐标点变化规律是解题关键．