Question

如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）证明：DE为⊙O的切线；

（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OD，CD，

∵BC为⊙O直径，

∴∠BCD=90°，

即CD⊥AB，

∵△ABC是等腰三角形，

∴AD=BD，

∵OB=OC，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∵D点在⊙O上，

∴DE为⊙O的切线；

（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，

∴CD=BC=2，BD=BC•cos30°=2，

∴AD=BD=2，AB=2BD=4，

∴S_△ABC=AB•CD=×4×2=4，

∵DE⊥AC，

∴DE=AD=×2=，AE=AD•cos30°=3，

∴S_△ODE=OD•DE=×2×=，S_△ADE=AE•DE=××3=，

∵S_△BOD=S_△BCD=×S_△ABC=×4=，

∴S_△OEC=S_△ABC﹣S_△BOD﹣S_△ODE﹣S_△ADE=4﹣﹣﹣=．