Question

如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，∠BAD=120°，∠MAN=60°，将图1中的∠MAN绕点A按逆时针方向旋转角α，且0°＜α＜120°，边AM、AN分别交直线BC、CD于E、F两点．
（1）当0°＜α≤60°时，其他条件不变，如图2、如图3．
①如图2，判断线段BE、DF、EF的数量关系，并直接写出结论．
②如图3，①中的结论是否依然成立？若成立，请利用图3证明；若不成立，说明理由．
（2）当60°＜α＜120°时，其他条件不变，请在图4中画出一个符合条件的图形，直接写出所画图形中线段BE、DF、EF的数量关系．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）①如图2，延长FD至G，使DG=BE，连接AG就可以证明△AEB≌△AGD，就可以得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，证明△AEF≌△AGF就可以得出EF=GF而得出结论；
②如图3，延长FD至G，使DG=BE，连接AG就可以证明△AEB≌△AGD，就可以得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，证明△AEF≌△AGF就可以得出EF=GF而得出结论；
（2）如图4，延长DF至G，使DG=BE，连接AG就可以证明△AEB≌△AGD，就可以得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，证明△AEF≌△AGF就可以得出EF=GF而得出结论．

解答：解：（1）①BE+DF=EF
理由：如图2，延长FD至G，使DG=BE，连接AG．
∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ADC=∠BAD=120°，∠DAB+∠B=180°
∴∠ADG=60°，∠B=60°，
∴∠ADG=∠B．
在△AEB和△AGD中，

AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG

，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．
∵∠BAE+∠DAF+∠EAF=120°，且∠MAN=60°，
∴∠BAE+∠DAF=60°，
∴∠GAD+∠DAF=60°，
即∠GAF=60°．
∴∠EAF=∠GAF．
在△AEF和△AGF中，

AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=GF．
∵GF=GD+DF，
∴GF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
②BE+DF=EF的结论仍然成立．
理由：如图3，延长FD至G，使DG=BE，连接AG．
∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ADC=∠BAD=120°，∠DAB+∠B=180°
∴∠ADG=60°，∠B=60°，
∴∠ADG=∠B．
在△AEB和△AGD中，

AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG

，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．
∵∠BAE+∠DAF+∠EAF=120°，且∠MAN=60°，
∴∠BAE+∠DAF=60°，
∴∠GAD+∠DAF=60°，
即∠GAF=60°．
∴∠EAF=∠GAF．
在△AEF和△AGF中，

AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=GF．
∵GF=GD+DF，
∴GF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
（2）当60°＜α＜120°时，BE=EF+DF．
理由：如图4，延长DF至G，使DG=BE，连接AG．
∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ADC=∠BAD=120°，∠B=∠C，∠DAB+∠B=180°
∴∠ADG=60°，∠B=∠C=60°，
∴∠ADG=∠B．
在△AEB和△AGD中，

AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG

，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．
作AH∥CD，交BC于H，
∴∠AHB=∠C=60°．
∴∠BAH=60°，
∴∠DAH=60°．
∵∠MAN=60°，
∴∠DAH=∠MAN，
∴∠DAH-∠2=∠MAN-∠2．
即∠3=∠1．
∴∠BAE-∠3=∠DAG-∠1，
∴∠BAH=∠GAF=60°，
∴∠EAF=∠GAF．
在△AEF和△AGF中，

AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=GF．
∵GD=GF+DF，
∴GD=EF+DF，
∴BE=EF+DF．

点评：本题考查了等腰梯形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行线的性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．