Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=30°，∠B=60°，AD=，CD=2，点P是线段AB上一个动点，过点P作PQ⊥AB于P，交其它边于Q，设BP为x，△BPQ的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：过C作CE⊥AB于点E，过D作DF⊥AB于点F，可得四边形CDFE是矩形，根据矩形的对边相等可得CE=DF，EF=CD=2，在Rt△ADF中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DF，再利用勾股定理求出AF，在Rt△BCE中，解直角三角形求出BE的长，然后分①点Q落在BC上，②点Q落在CD上，③点Q落在AD上，三种情况分别求出y与x的函数关系式，再根据相应函数图象解答．
解答：解：如图，过C作CE⊥AB于点E，过D作DF⊥AB于点F，
又∵AB∥CD，
∴四边形CDFE是矩形，
∴CE=DF，EF=CD=2，
在Rt△ADF中，∵∠A=30°，AD=2，
∴DF=AD=×2=，
AF===3，
在Rt△BCE中，BE=CE÷tan∠B=÷tan60°=÷=1，
①当0≤x≤1时，点Q落在BC上，
此时，△BPQ的面积为y=x•xtan60°=x•x=x²，
②当1≤x≤3时，点Q落在CD上，
此时，△BPQ的面积为y=x•=x，
③当3≤x≤6时，点Q落在AD上，
此时，△BPQ的面积为y=x•（6-x）tan30°=x•（6-x）=-x²+x=-（x-3）²+，
所以，y与x的函数关系式为y=，
纵观各选项，A选项图形符合．
故选A．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了梯形的求解，解直角三角形，勾股定理以及三角形的面积，分段求出函数解析式是解题的关键．