Question

【题目】已知，AB、AC为圆O的弦，连接CO并延长，交AB于点D，且∠ADC=2∠C；

（1）如图1，求证：AD=CO；

（2）如图2，取弧BC上一点E，连接EB、EC、ED，且∠EDA=∠ECA，延长EB至点F，连接FD，若∠EDF-∠F=60°，求∠BDF的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，若CD=10，，求AC的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）30°；（3）

【解析】

（1）利用三角形外角的性质结合已知即可求得∠ADC=∠DOA，从而证得AD=CO；

（2）设，则，利用等角的余角相等证得∠EBA=∠EDB，根据三角形内角和定理通过计算即可求得答案；

（3）作出辅助线，证得为等边三角形，利用ASA证得，根据平角的定义求得，设，在中，根据勾股定理可求得，在中，根据勾股定理即可求解．

（1）连接，

∵OC=OA，

∴∠C=∠OAC，

∴∠DOA=∠C=∠OAC=2∠C，

∵∠ADC=2∠C，

∴∠ADC=∠DOA，

∴AD=OA=OC；

（2）设，则，

∴，

∵，

又∵∠ECA+∠EBA=180，∠EDA+∠EDB=180，

∴∠EBA=∠EDB，

∴，

∴；

（3）延长交于，连接、、、，

作，，

∵，，

∴，

∴为等边三角形，

，

∴∠EBG=∠EDF，

∵，，

∴(ASA)，

∴，

∴，

∵，

又∵，

∴，

∴，

∴，

设，

∴，

中，，

∴，

∴或（舍，此时），

在和中，

∵，，

∴(HL)，

∴，

∵，

∴．