题目内容

如图，正△ABC的面积是8，取正△ABC的内心O₁，以O₁B为边长作正△O₁BP₁，再取正△O₁BP₁的内心O₂，以O₂B为边长作正△O₂BP₂，…，依次规律作第2009个正△O₂₀₀₉BP₂₀₀₉．则△O₂₀₀₉BP₂₀₀₉的面积是________．

$\text{[math]}$
分析：根据正三角形的内心和外心重合，则每后一个正三角形的边长是前一个正三角形的外接圆的半径，它们的边长比是 $\text{[math]}$ ．再根据相似三角形的面积比是相似比的平方，得每后一个正三角形的面积是前一个正三角形的面积的 $\text{[math]}$ ，所以要求的正三角形的面积是 $\text{[math]}$ ．
解答：

解：如图；
Rt△O₁BD中，∠O₁BD=30°；
∴ $\text{[math]}$ =cos30°= $\text{[math]}$ ；
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴S_△O1BP1= $\text{[math]}$ S_△ABC= $\text{[math]}$ ；
同理可求得S_△O2BP2= $\text{[math]}$ S_△O1BP1= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ S_△ABC=（ $\text{[math]}$ ）²×8；
依此类推，S_△OnBPn=（ $\text{[math]}$ ）ⁿ×8= $\text{[math]}$ ；
当n=2009时，△O₂₀₀₉BP₂₀₀₉的面积是 $\text{[math]}$ ．
点评：解答此类题一般要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．

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