Question

如图，若等边△ABC的边长为6cm，内切圆⊙O分别切三边于点D，E，F，则阴影部分的面积是

1. A.
   πcm²
2. B.
   πcm²
3. C.
   πcm²
4. D.
   πcm²

Answer 1

A
分析：连接OA，OE，OF，OD，AD，则AD过O，求出BD、AD，求出三角形ABC的面积，根据S_△OBC=S_△ABC，求出OD，求出∠BOC，根据扇形的面积公式求出即可．
解答：连接OA，OE，OF，OD，AD，则AD过O，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=3，
由勾股定理得：AD===3，
∴S_△ABC=BC×AD=×6×3=9，
∵等边三角形ABC的内切圆⊙O分别且AB、BC、AC于F、D、E，
∴OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，
∵AB=BC=AC=6，OD=OE=OF，
∴S_△AOC=S_△OBC=S_△OAC，
∴S_△OBC=S_△ABC=3，
∴BC×OD=3，
即×6×OD=3，
∴OD=，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，
∴∠OBC=∠ABC=30°，
同理∠OCB=30°，
∴∠BOC=180°-30°-30°=120°，
∴阴影部分的面积是：=π．
故选A．
点评：本题考查了扇形的面积，三角形的面积，勾股定理，三角形的内切圆，等边三角形性质等知识点的应用，关键是求出OD的长和∠BOC的度数，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．