Question

【题目】两块等腰直角三角形纸片和按图1所示放置，直角顶点重合在点处，，．保持纸片不动，将纸片绕点逆时针旋转．当与在同一直线上（如图2）时，的正切值等于_________．

Answer 1

【答案】

【解析】

当BD与CD在同一直线上时，根据三角形AOB和COD是等腰直角三角形，可得OA＝OB，OC＝OD，由旋转可得∠AOC＝∠DOB，证明△AOC≌△BOD，可得AC＝BD，在RtACB中，设AC＝x，则BD＝x，根据勾股定理列出方程求出x的值，可得tan∠ABC＝＝，再根据∠DBO＋∠DOB＝∠DBO＋∠ABC证明∠ABC＝α，进而求出α的正切值．

解：当BD与CD在同一直线上（如图2）时，

∵三角形AOB和COD是等腰直角三角形，

∴OA＝OB，OC＝OD，

由旋转可知：∠AOC＝∠DOB=α，

∴△AOC≌△BOD（SAS），

∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，

∵∠DBO＋∠ABC+∠BAO＝90°，

∴∠CAO+∠OAB+∠ABC=90°

∴∠ACB=90°

在RtACB中，设AC＝x，则BD＝x，

∴BC＝CD＋BD＝4＋x，

∵AB=2，

∴根据勾股定理，得x2＋（4＋x）2＝（2）2，

解得x＝2或x＝6（舍去），

∴AC＝2，BC＝6，

∴tan∠ABC＝＝，

∵三角形AOB和COD是等腰直角三角形，

∴∠CDO＝∠ABO＝45°，

∴∠DBO＋∠DOB＝∠DBO＋∠ABC，

∴∠ABC＝∠DOB，

由旋转可知：∠AOC＝∠DOB＝α，

∴∠ABC＝α，

∴tanα＝，

故答案为：．