Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，若点P和点关于x轴对称，点和点关于直线l对称，则称点是点P关于x轴，直线l的二次对称点．

（1）如图1，点A(0，-1)．

①若点B是点A关于x轴，直线：x=2的二次对称点，则点B的坐标为 ；

②点C (-4，1)是点A关于x轴，直线：x=a的二次对称点，则a的值为 ；

③点D(-1，0)是点A关于x轴，直线的二次对称点，则直线的表达式为 ；

（2）如图2，O的半径为2．若O上存在点M，使得点M′是点M关于x轴，直线：x = b的二次对称点，且点M′在射线（x≥0）上，b的取值范围是 ；

（3）E(0，t)是y轴上的动点，E的半径为2，若E上存在点N，使得点N′是点N关于x轴，直线：的二次对称点，且点N′在x轴上，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①(4，1)，②-2，③y =- x；（2）b的取值范围是-1≤b≤；（3）-4≤t≤4

【解析】

（1）①根据题目中二次对称点的定义，可以求得点B的坐标；

②根据题目中二次对称点的定义，可以求得a的值；

③根据题目中二次对称点的定义，可以求得直线l3的表达式；

（2）根据题意可以画出相应的图形，利用分类讨论的方法即可解答本题；

（3）根据题意和对称的二次对称点的定义，根据题目中的图形，可以求得t的取值范围，本题得以解决．

解：（1）① 点B的坐标为 （4，1）

② a的值为-2

③直线l3的表达式为y =- x

（2）如图2，

设O与x轴的两个交点为（-2，0），（2，0），

与射线 (x≥0)的交点为，则的坐标为（1，）．

关于x轴的对称点为．

当点M在的位置时，b=-1，

当点M在的位置时，b=1，

当点M在的位置时，b=1，

当点M在劣弧上时（如图3），-1≤b≤1，

当点M在劣弧上时（如图4），b的值比1大，当到劣弧的中点时，达到最大值（如图5），最大值为．综上，b的取值范围是-1≤b≤．

（3）∵x轴和直线关于直线对称，

直线和直线关于x轴对称，

∴E只要与直线和有交点即可．

∴t 的取值范围是：-4≤t≤4

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