Question

如图①，正方形ABCD中对角线AC，BD相交于O，E为AC上一点，AG丄EB交EB于G，AG交BD于F．
（1）证明：0E=0F；
（2）如图②，若E为AC延长线上一点，AG丄EB交EB的延长线于G，AG的延长线与DB的延长线交于F，其他条件不变，则结论“0E=0F”还成立吗？请说明理由．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：几何图形问题,探究型

分析：（1）根据正方形的性质利用ASA判定△AOF≌△BOE，根据全等三角形的对应边相等得到OE=OF；
（2）类比（1）的方法证得同理得出结论成立．

解答：证明：（1）如图（1），
在正方形ABCD中，
∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，
∴∠OBE+∠BEO=90°，
∵AG⊥EB，
∴∠AGE=90°，
∴∠GAE+∠AEG=90°，
∴∠OBE=∠OAF，
在△AOF和△BOE中，

∠AOF=∠BOE AO=BO ∠OAF=∠OBE

，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE=OF．

（2）OE=OF仍然成立．
理由：如图（2）
正方形ABCD中，∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，
∴∠FAO+∠F=90°，
∵AG⊥EB，∴∠AGE=90°，
∴∠GAE+∠E=90°，
∴∠E=∠F，
在△AOF和△BOE中，

∠AOF=∠BOE ∠E=∠F AO=BO

，
∴△AOF≌△BOE（AAS），
∴OE=OF．
所以结论仍然成立．

点评：此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定与性质的理解及运用．