题目内容

如图，矩形OABC，A（5，0），C（0，3）．直线y=kx交折线A-B-C于点P，点A关于OP的对称点A′
（1）当A′恰好在CB边上时，C A′=，k=
（2）k=时，经过O、A、A′的抛物线恰好以A′为顶点，该抛物线的解析式是
（3）若P在AB边上，A′在CB上方时，A′O、A′P交CB边于点E，F．求k为何值时△A′EF≌△BPF？并说明理由．
（4）以OP为直径作⊙M，则⊙M与矩形OABC最多有个公共点，并写出公共点个数最多时k的取值范围（直接写答案）

解：（1）如图1，连接OA′，AA′．设A′（x，3）（0＜x＜5）．
∵在矩形OABC中，A（5，0），C（0，3），
∴OA=5，OC=3．
∵点A与点A′关于直线OP对称，
∴OA′=OA=5，
∴在Rt△OCA′中，利用勾股定理知，CA′= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4，
即C A′=4，
∴A′（4，3），
∴线段AA′的中点D的坐标是（4.5，1.5）在直线OP上，
∴k= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

（2）∵该抛物线经过点O、A，
∴可设交点式函数解析式y=ax（x-5）（a＜0），即y=a（x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ a．
∵该抛物线以点A′为顶点，
∴A′（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ a）．
∴k_AA′= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，线段AA′的中点的坐标是（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ a）．
又∵点A与点A′关于直线OP对称，
∴线段AA′的中点的坐标是（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ a）在直线OP上，
则 $\text{[math]}$ ，
解得， $\text{[math]}$ ，

∴该抛物线的解析式是 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ；

（3）当k= $\text{[math]}$ 时，△A′EF≌△BPF．理由如下：
如图2，设P（5，y）．∵点A与点A′关于直线OP对称，
∴△OAP≌△OA′P，
∴AP=A′P，OA=OA′=5．
∵△A′EF≌△BPF，
∴A′F=FB，A′E=BP，∠A′=∠B=90°，∠A′EF=∠BPF，
∴∠CEO=∠BPF，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得，y= $\text{[math]}$ ，则k= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（4）如图3，最多有6个交点，k的取值范围是： $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．
当0＜k＜ $\text{[math]}$ 时，有4个共同点
k= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，有5个共同点；
k= $\text{[math]}$ 时，有4个共同点．
故答案是：4， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；k= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ；6， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）如图1，连接OA′，AA′．设A′（x，3）．
根据矩形的性质，点的坐标与图形的性质以及勾股定理求得CA′=4，然后结合A（5，0）求得AA′的中点D的坐标是（4.5，1.5），从而求得k的值；
（2）因为该抛物线经过点O、A，故可设交点式函数解析式y=ax（x-5）（a＜0）．由顶点坐标公式求得A′的坐标，结合轴对称的性质来求a的值；
（3）根据全等三角形的对应边相等和对应角相等、勾股定理以及正切函数的定义来求k的值．
（4）根据题意，画出图形，根据图形回答问题．
点评：本题考查了二次函数综合题．注意，方程组的解法的应用．