题目内容

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD：y= $数学公式$ x+m与直线AB交于点E，E点的横坐标为 $数学公式$ ．
（1）求m的值；
（2）点P（t，0）在x轴上，作线段PD的垂直平分线交直线DE于M，交x轴与点F，过点M作x轴的平行线交直线AB于点N，设线段MN的长为d，当-6＜t＜8时，求d与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，连接BP与BM，求当t为何值时∠PBM=45°，并直接写出此时点F的坐标．

解：（1）∵点E在直线y=x+6上，且E点的横坐标为 $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ +6= $\text{[math]}$ ，即E（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
又∵点E也在直线y= $\text{[math]}$ x+m上，
∴ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ×（- $\text{[math]}$ ）+m，
解得m=4，即m的值为4；

（2）由直线CD：y= $\text{[math]}$ x+4知，D（8，0）．
∵点P（t，0），点F是线段PD的中点，
∴F（ $\text{[math]}$ ，0）．
又∵MF⊥PD，点M在直线CD上，
∴点M的横坐标与点F的横坐标都是 $\text{[math]}$ ，则y_M= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ +4= $\text{[math]}$ ．
∵MN∥x轴，且点N在直线y=x+6上，
∴y_N=y_M= $\text{[math]}$ =x_N+6，
解得x_N= $\text{[math]}$ -6= $\text{[math]}$ ，

∴MN=x_M-x_N= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ t+8，即d=- $\text{[math]}$ t+8（-6＜t＜8）；

（3）如图，连接BP、BM．P作PG垂直于AB于点G．设MN交y轴于点H．
∵y=x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（-6，0），B（0，6），
∴OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∴AG=PG= $\text{[math]}$ （t+6）．
∵∠PBM=45°，
∴∠GBP=∠FBM．
又∵∠BGP=∠BHM=90°，
∴△BPG∽△BMH，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t=0．
则点P与原点O重合，
∴OF= $\text{[math]}$ OD=4，
∴F（4，0）．
分析：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，将点E的横坐标代入直线y=x+6中求得点E的纵坐标；然后将点E的坐标代入直线CD的解析式即可求得m的值；
（2）根据P点的坐标表示出点F的坐标，然后根据MN∥x轴表示出点M、N的坐标，从而求得函数的解析式；
（3）过点P作PG垂直于AB于点G，利用构建相似三角形△BPG∽△BMH，由相似三角形的对应边成比例来求t的值．
点评：本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有：一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质等．注意（3）题中构建相似三角形的辅助线的作法．