Question

（1）已知，如图1，BF为∠ABC的角平分线，CF为外角∠ACG的角平分线：
①若∠F=18°，求∠A=

 

；
②若∠A=n°，求∠F=

 

；（论证这个结论）
（2）如图2，若∠ABC与∠ACG的平分线交于F₁；∠F₁BC与∠F₁CG的平分线交于F2；如此下去，∠F₂BC与∠F₂CG的平分线交于F₃；试直接写出∠F_n与∠A的关系（n为自然数），不需要证明过程．

 

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）由外角的性质可得∠FCG=∠F+∠FBC，∠ACG=∠ABC+∠A，再根据角平分线的定义可得到∠A=2∠F，进一步可求得∠A和∠F；
（2）同理可知∠A=2∠F₁=4∠F₂=…=2ⁿ∠F_n．

解答：解：（1）①在△FBC中，可得∠FCG=∠F+∠FBC，
∴2∠FCG=2∠F+2∠FBC，
在△ABC中，可得∠ACG=∠ABC+∠A，
∵BF为∠ABC的角平分线，CF为外角∠ACG的角平分线，
∴∠ACG=2∠FCG，∠ABC=2∠FBC，
∴2∠FCG=2∠FBC+∠A，
∴∠A=2∠F=2×18°=36°，
故答案为：36°；
②由①知∠A=2∠F，
∴∠F=

1

2

∠A=

n°

2

，（论证过程同①）
故答案为：

n°

2

；
（2）由①可知：∠A=2∠F₁，
同理可知∠F₁=2∠F₂，∠F₂=2∠F₃，…，
∴∠A=2∠F₁=4∠F₂=…=2ⁿ∠F_n，
即∠A=2ⁿ∠F_n，
故答案为：∠A=2ⁿ∠F_n．

点评：本题主要考查三角形外角的性质及角平分线的定义，由条件得到∠A和∠F的关系是解题的关键．