题目内容
【题目】如图，抛物线
经过
，
两点，点
为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与
轴交于点
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点
从点出发，沿线段
向终点作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为
，过点作
，交
于点
，以
为正方形的一边，向上作正方形
，边
交于点
，延长
交
于点
．
①当为何值时，点
落在抛物线上；
②在点运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形
为平行四边形？若存在，求出此时刻的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）①
；②存在，
【解析】
（1）把点A、C坐标代入抛物线解析式得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可得解；
（2）根据抛物线解析式求出顶点B的坐标，然后根据相似三角形对应边成比例用t表示出PM，再求出NE的长度，
①表示出点N的坐标，再根据点N在抛物线上，把点N的坐标代入抛物线，解方程即可得解；
②根据PM的长度表示出QD，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后根据直线BC的解析式求出点R的横坐标，从而求出QR的长度，再表示出EC的长度，然后根据平行四边形对边平行且相等列式求解即可．
解：（1）∵
经过
，
两点，
∴
，
解得
，所以，抛物线的解析式为
（2）∵
，
∴点
的坐标为
，
∵抛物线的对称轴与
轴交于点
，
∴
，
，
∵
，∴
，
∴
，
∴
即
解得
，
所以，
，
∵四边形
为正方形，
∴
①点
的坐标为
，
若点在抛物线上，则
整理得，
，解得
（舍去），
，
所以，当秒时，点落在抛物线上；
②存在
理由如下：∵，四边形为正方形，
∴
，
设直线
的解析式为
，
将
，两点坐标分别代入，得
，解得
所以直线的解析式为
，
则
∴
，解得
，
所以，
，
又
，
根据平行四边形的对边平行且相等可得
，
即
，解得
此时点
在
上，
所以，当时，四边形
为平行四边形
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