Question

14．D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点，O是△ABC内任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．问当OA与BC应满足怎样的数量关系时，四边形DGFE是菱形，并证明之．

Answer 1

分析 当OA=BC时，四边形DEFG是菱形，选根据三角形中位线定理证明四边形DEFG是平行四边形，再证明EF=FG即可．

解答 解：当OA=BC时，四边形DEFG是菱形．
理由：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
同理，GF∥BC，FG=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE∥FG，DE=GF，
∴四边形DEFG是平行四边形，
连接OA，在△AOC中，E、F分别为AC、OC中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$OA，同理在△BOC中，GF=$\frac{1}{2}$BC，
∵OA=BC，
∴EF=GF，
∴OA=BC时，四边形DEFG是菱形．

点评 本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是三角形中位线定理的正确运用，属于中考常考题型．