Question

如图，直线l₁∥l₂∥l₃，且l₁与l₂的距离为1，l₂与l₃的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图所示放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l₂交于点D，则线段BD的长度为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,平行线之间的距离,等腰直角三角形,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：分别过点A、B、D作AF⊥l₃，BE⊥l₃，DG⊥l₃，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长．

解答：解：别过点A、B、D作AF⊥l₃，BE⊥l₃，DG⊥l₃，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF，
在△BCE与△ACF中，

∠EBC=∠ACF BC=BC ∠BEC=∠AFC

∴△BCE≌△ACF（ASA）
∴CF=BE，CE=AF，
∵l₁与l₂的距离为1，l₂与l₃的距离为3，
∴CF=BE=3，CE=AF=3+1=4，
在Rt△ACF中，
∵AF=4，CF=3，
∴AC=5，
∵AF⊥l₃，DG⊥l₃，
∴△CDG∽△CAF，
∴

DG

AF

=

CD

AC

，
∴

3

4

=

CD

5

∴CD=

15

4

在Rt△BCD中，
∵CD=

15

4

，BC=5，
所以BD=

BC2+CD2

=

25

4

．
故答案为：

25

4

．

点评：本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．