Question

如图，在⊙O中，弦AC⊥BD，OE⊥AB，垂足为E，求证：OE=

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CD．

Answer 1

考点：圆周角定理,三角形中位线定理

专题：证明题

分析：首先连接AO并延长交圆于M点，连接MB，MC，由垂径定理可得OE=

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BM，继而证得四边形BDCM是等腰梯形，则可得OE=

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CD．

解答：证明：连接AO并延长交圆于M点，连接MB，MC，
∵OE⊥AB，
∴AE=BE，
∵OA=OM，
∴OE是△ABM的中位线，
∴OE=

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BM，
∵AM是直径，
∴∠ACM=90°，
即AC⊥CM，
∵AD⊥AC，
∴BD∥CM，
∴∠D+∠DCM=180°，
∵∠DCM+∠DBM=180°，
∴∠D=∠DBM，
∴四边形BDCM是等腰梯形，
∴CD=BM，
∴OE=

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CD．

点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰梯形的判定与性质以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．