题目内容

如图①，已知正方形AOBC的边长为3，A、B两点分别在y轴和x轴的正半轴上，以D（0，1）为旋转中心，将DB逆时针旋转90°，得到线段DE，抛物线以点E为顶点，且经过点A．

（1）求抛物线解析式并判断点B是否在抛物线上；
（2）如图②，判断直线AE与正方形AOBC的外接圆的位置关系，并说明理由；
（3）若在抛物线上有点P，在抛物线的对称轴上有点Q，使得以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标．
（1）如图①，过E作EF⊥y轴于F，则∠EFD=∠DOB=90°．
∵以D（0，1）为旋转中心，将DB逆时针旋转90°，得到线段DE，
∴∠BDE=90°，DE=DB，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△DEF≌△BDO（AAS），
∴EF=DO=1，FD=OB=3，
∴E（1，4）．
设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+4，
把A（0，3）代入上式，得
3=a（0-1）2+4，解得a=-1，
∴y=-（x-1）2+4．
当x=3时，y=-（3-1）2+4=0，
∴点B（3，0）在抛物线上；

（2）直线AE与圆相切．理由如下：
如图②，连接AB，则AB为圆的直径，
在正方形AOBC中，∠OAB=45°，
由（1）知，EF=1，FA=OF-OA=4-3=1，
∴在Rt△EFA中，∠FAE=45°，
∴∠EAB=180°-∠OAB-∠FAE=90°，
∴直径AB⊥AE，
∴直线AE与圆相切；

（3）①当OB为边时，如图③，

∵以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴PQ∥OB，且PQ=OB=3．
∵点Q在对称轴x=1上，
∴点P的横坐标为-2或4．

当x=-2时，y=-（-2-1）2+4=-5；
当x=4时，y=-（4-1）2+4=-5．

即符合条件的点P有两个，P1（-2，-5），P2（4，-5）；
②当OB为对角线时，如图④，
∵以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，

∴PQ与OB互相平分．
又点Q在对称轴x=1上，且线段OB的中点横坐标为
3
2
，

∴点P的横坐标为2，

当x=2时，y=-（2-1）2+4=3，
即符合条件的点P只有一个，即P3（2，3），
综上所述，符合条件的点P共有三个，即P1（-2，-5），P2（4，-5），P3（2，3）．
练习册系列答案
相关题目
如图，在直角坐标系中，y轴是边长为2的等边△BAD的对称轴，x轴是等腰△BDC的对称轴．
（1）试求出经过点A、点B，且对称轴为直线x=1的抛物线的解析式；
（2）把△BDC沿着直线BD翻折后，得到△BDC'．
①问点C'是否在（1）中的抛物线上？
②设BC'交直线x=1于点Q．若点P是（1）中的抛物线上的一个动点，过点P作PT⊥直线x=1，垂足为T，问：在抛物线上是否存在着点P，使得以P、T、Q为顶点的三角形与△QDC'相似？若存在，写出所有符合上述条件的点P的横坐标；若不存在，试说明理由．
如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线y=-x2+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4，0）
（1）当x取何值时，该抛物线取最大值？该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动．设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．
①当t=
11
4
时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5？若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？
（3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？
图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？
已知抛物线y=-x2+mx+n经过点A（1，0），B（O，-6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线与x轴交于另一点D，求△ABD的面积；
（3）当y＜0，直接写出自变量x的取值范围．
某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：
x35911
y181462
（1）在直角坐标系中
①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；
②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数关系式，并画出图象．并说明当x≥12时对应图象的实际意义．
（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律：
①试求日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数关系式；
②当日销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P是否存在最小值？若有，试求出，并说明其实际意义；若无，请说明理由．
已知直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点A、C，过A、C两点的抛物线y=ax2-2ax+c交x轴于另一点B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度沿线段BA方向运动，同时动直线l从x轴出发，以每秒1个单位长度沿y轴方向平行移动，直线l交AC与D，交BC于E，当点Q运动到点A时，两者都停止运动．设运动时间为t秒，△QED的面积为S．
①求S与t的函数关系式：并探究：当t为何值时，S有最大值为多少？
②在点Q及直线l的运动过程中，是否存在△QED为直角三角形？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由．
某公司准备投资开发A、B两种新产品，通过市场调研发现：
（1）若单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间满足正比例函数关系：yA=kx；
（2）若单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间满足二次函数关系：yB=ax2+bx．
（3）根据公司信息部的报告，yA，yB（万元）与投资金额x（万元）的部分对应值如下表所示：
x15
yA0.84
yB3.815
（1）填空：yA=______；yB=______；
（2）若公司准备投资20万元同时开发A、B两种新产品，设公司所获得的总利润为W（万元），试写出W与某种产品的投资金额x（万元）之间的函数关系式；
（3）请你设计一个在（2）中能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少万元？

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