Question

已知直线y=

4

3

x+4与x轴、y轴的交点分别为A、B．又P、Q两点的坐标分别为P（0，-1），Q（0，k），其中0＜k＜4，再以Q点为圆心，PQ长为半径作圆，则当k取何值时，⊙Q与直线AB相切？

Answer 1

分析：首先求得A，B的坐标，则可以求得OA，OB的长度，易证Rt△BQQ′∽Rt△BAO，根据相似三角形的对应边的比相等，即可PQ的长．

解答：解：把x=0，y=0分别代入y=

4

3

x+4得

x=0 y=4

  

x=-3 y=0.

∴A、B两点的坐标分别为（-3，0），（0，4）．
∵OA=3，OB=4，
∴AB=5，BQ=4-k，QP=k+1．当QQ′⊥AB于Q′（如图），
当QQ′=QP时，⊙Q与直线AB相切．
由Rt△BQQ′∽Rt△BAO，得

BQ

BA

=

QQ′

AO

即

BQ

BA

=

QP

AO

．
∴

4-k

5

=

k+1

3

，
∴k=

7

8

．
∴当k=

7

8

时，⊙Q与直线AB相切．

点评：本题考查了一次函数与x轴、y轴的交点的求法，以及切线的性质，相似三角形的判定与性质，难度不大．