Question

【题目】如图，在中，，，为的中点，、分别是、(或它们的延长线)上的动点，且．

（1）当时，如图①，线段和线段的关系是：_________________；

（2）当与不垂直时，如图②，（1）的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）当、运动到、的延长线时，如图③，请直接写出、、之间的关系．

Answer 1

【答案】（1），；（2）成立，证明见解析；（3）

【解析】

（1）连接CO，证明△AOM≌△CON可证得OM=ON，∠CON=∠AOM=45°，再证明∠COM=45°即可证明出结论；

（2）连接CO，证明可证得OM=ON，再证明即可得到结论；

（3）同（2）得：△OCF≌△OBN，，得出S△OMN=S五边形OBNMC=S△CMN+S△OCB=S△CMN+S△ABC．

（1）∵，，

∴∠A=45°，

∵，

∴∠AOM=45°，

连接CO，则有CO⊥AB，如图，

∴∠COM=45°，∠BCO=45°，CO=AB

∵为的中点，

∴

∴AO=CO

在△AOM和△CON中

∴△AOM≌△CON

∴OM=ON，∠NOC=∠MOA=45°，

∴∠NOC+∠COM=45°+45°=90°，即

∴，

（2）成立，

证明：连接

，

，是中点

，(三线合一)

又

，

（3）

连接CO，如图所示：

同（2）得：△OCF≌△OBN，∠OCM=∠OBN=135°

∴S△OMN=S五边形OBNMC，

=S△CMN+S△OCB，

=S△CMN+S△ABC，

∴．