Question

【题目】已知：在中， ，点在上，连结，且．

(1)如图1，求的度数；

(2) 如图2， 点在的垂直平分线上，连接，过点作于点，交于点，若，，求证： 是等腰直角三角形；

(3)如图3，在(2)的条件下，连接，过点作 交于点，且，若，求的长．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）根据已知推出，然后利用三角形外角的性质有，则，然后利用即可求解；

（2）由垂直平分线的性质得到，从而有，根据同位角相等，两直线平行可得出，进而得出，然后通过等量代换得出 ，所以 ， ，则结论可证；

（3）首先证明，则有， ， ，然后证明得出，然后通过对角度的计算得出， ，同理证明点在的垂直平分线上 ，则有

，所以 ，最后通过证明，得出，则答案可解 ．

（1）

（2）∵点 在线段 的垂直平分线上

．

又

∴

是等腰直角三角形

（3）如图 ，过作交 的延长线于点 于点，连接，令，与的交点分别为点，．

在四边形中，

又

又

又

又

又

又

∴点在的垂直平分线上

同理点在的垂直平分线上