题目内容

探究：观察下列各式数学公式，数学公式，数学公式，…请你根据以上式子的规律填写：数学公式=________；
数学公式=________．

    
分析：利用已知各式的规律将所求式子变形，抵消后通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
解答：++++…+
=1-+-+…+-
=1-=；
+++…+
=（1-+-+…+-）
=（1-）
=．
故答案为：；．
点评：此题考查了分式的加减法，分式加减运算的关键是通分，通分的关键是找最简公分母．弄清题中的规律是解本题的关键．
练习册系列答案
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探究题：
（1）观察下列各式：
1
1
3
=2
1
3
；
2
1
4
=3
1
4
；
3
1
5
=4
1
5
．
①猜想
4
1
6
的变形结果并验证；
②针对上述各式反映的规律，给出用n（n为任意自然数，且n≥1）表示的等式，并进行证明．
（2）把阅读下面的解题过程：
已知实数a、b满足a+b=8，ab=15，且a＞b，试求a-b的值．
解：∵a+b=8，ab=15
∴（a+b）2=a2+2ab+b2=64
∴a2+b2=34
∴（a-b）2=a2-2ab+b2=34-30=4
∴a-b=
4
=2．
请你仿照上面的解题过程，解答下面的问题：已知实数x满足x+
1
x
=
8
，且x＞
1
x
，试求x-
1
x
的值．
观察下列各式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，…，…
（1）请根据以上的各式的变形方式，对下列各题进行探究变形：
①
1
2×4
=
1
2
×（
1
2
-
1
4
）
1
2
×（
1
2
-
1
4
）
；②
1
4×6
=
1
2
×（
1
4
-
1
6
）
1
2
×（
1
4
-
1
6
）
；③
1
98×100
=
1
2
×（
1
98
-
1
100
）
1
2
×（
1
98
-
1
100
）
；
（2）由你所找到的规律计算：
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
98×100
．
探究：观察下列各式
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，…请你根据以上式子的规律填写：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
2010×2011
=
2010
2011
2010
2011
；
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
…+
1
(2n-1)(2n+1)
=
n
2n+1
n
2n+1
．
仔细观察下列各式，探究规律：12=
1×2×3
6
，12+22=
2×3×5
6
，12+22+32=
3×4×7
6
，…，
（1）根据上述规律，求12+22+32+42+52的值；
（2）你能用一个含有n的算式表示这个规律吗？请写出这个算式；
（3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：62+72+82+92+102+112+122+132+142+152．

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