Question

探究：观察下列各式

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…请你根据以上式子的规律填写：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

2010×2011

=

2010

2011

；

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

n

2n+1

．

Answer 1

分析：利用已知各式的规律将所求式子变形，抵消后通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．

解答：解：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

2010×2011

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2010

-

1

2011

=1-

1

2011

=

2010

2011

；

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．
故答案为：

2010

2011

；

n

2n+1

．

点评：此题考查了分式的加减法，分式加减运算的关键是通分，通分的关键是找最简公分母．弄清题中的规律是解本题的关键．