Question

探究题：
（1）观察下列各式：

1 1 3

=2

1 3

；

2 1 4

=3

1 4

；

3 1 5

=4

1 5

．
①猜想

4 1 6

的变形结果并验证；
②针对上述各式反映的规律，给出用n（n为任意自然数，且n≥1）表示的等式，并进行证明．
（2）把阅读下面的解题过程：
已知实数a、b满足a+b=8，ab=15，且a＞b，试求a-b的值．
解：∵a+b=8，ab=15
∴（a+b）²=a²+2ab+b²=64
∴a²+b²=34
∴（a-b）²=a²-2ab+b²=34-30=4
∴a-b=

4

=2．
请你仿照上面的解题过程，解答下面的问题：已知实数x满足x+

1

x

=

8

，且x＞

1

x

，试求x-

1

x

的值．

Answer 1

分析：（1）中，注意观察左边的被开方数是一个带分数，其分数部分的分子是1，分母比其整数部分大2．右边的结果根号外的比左边的整数部分大1，根号内的是左边的分数部分；
（2）中，显然根据：（a-b）²=（a+b）²-4ab．进行求值计算．

解答：解：（1）①猜想：

4 1 6

=5

1 6

，验证如下：
左边=

25 6

=5

1 6

=右边，等式成立；
②根据规律，可以表示为：

n+ 1 n+2

=（n+1）

1 n+2

，验证如下：
左边=

n2+2n+1 n+2

=

(n+1)2 n+2

=（n+1）

1 n+2

=右边，等式成立；

（2）∵x+

1

x

=

8

，
∴（x-

1

x

）²=（x+

1

x

）²-4=8-4=4
又x＞

1

x

，
∴x-

1

x

=2．

点评：特别注意：（x-

1

x

）²=（x+

1

x

）²-4．熟悉完全平方公式之间的联系．