Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）

（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；

（2）求线段AB的长；

（3）抛物线与y轴交于点C（点C不与原点O重合），若△OAC的面积始终小于△ABC的面积，求m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（m，﹣1）；（2）2；（3）﹣1＜m＜3且 m≠1

【解析】

（1）将抛物线配方成顶点式即可得顶点坐标；

（2）求出y＝0时x的值即可得；

（3）由△OAC与△ABC等高且△OAC的面积小于△ABC的面积，知OA＜AB，分点A在x轴的正半轴和点A在x轴的负半轴解答可得.

解：（1）y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，

∴顶点为（m，﹣1）；

（2）令y＝0

∴x2﹣2mx+m2﹣1＝0

解得：x1＝m﹣1，x2＝m+1，

∵点 A在点B的左侧，

∴A（m﹣1，0），B（m+1，0），

∴AB＝（m+1）﹣（ m﹣1 ）＝2；

（3）∵△OAC与△ABC等高

△OAC的面积小于△ABC的面积

∴OA＜AB，

①当点A在x轴的正半轴上时，

如图1，

则m﹣1＜2，解得：m＜3；

②当点A在x轴的负半轴上时，

则1﹣m＜2，解得：m＞﹣1，

又∵点C不与原点O重合，

∴m 2﹣1≠0，m≠±1，

∴﹣1＜m＜3且 m≠1.