Question

已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，F、G是AB边上的两个点，且FC平分∠BCD，GD平分∠ADC，FC与GD相交于点E．
（1）求证：AF=GB；
（2）请将平行四边形ABCD添加一个什么条件，使得△EFG为等腰直角三角形，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由平行四边形的性质及角平分线的性质不难得出AG=AD，BF=BC，再由AD=BC，第一问可求解；
（2）要使得△EFG为等腰直角三角形，只需∠EFG=∠EGF且∠FEG=90°即可，所以可得四边形ABCD是一个矩形．

解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，
∵DG、CF分别平分∠ADC、∠BCD，
则可得AG=AD，BF=BC，
又AD=BC，∴AG=BF，
∴AF=GB．

（2）解：四边形ABCD为矩形时，△EFG为等腰直角三角形．
理由：∵DG、CF分别平分∠ADC、∠BCD，∠ADC=90°，
∴∠AGD=∠CDG=

1

2

∠ADC=45°
同理∠BFC=

1

2

∠BCD=45°
∴△EFG为等腰直角三角形．

点评：本题主要考查平行四边形的性质及角平分线的性质，理解等腰直角三角形的性质并能求解一个三角形是等腰直角三角形．