Question

11．如图，正方形OABC中，点B（4，4），点E，F分别在边BC，BA上，OE=2$\sqrt{5}$，若∠EOF=45°，则OF的解析式为（　　）

• A． y=$\frac{4}{3}$x
• B． y=$\frac{1}{3}$x
• C． y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x
• D． y=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x

Answer 1

分析 作辅助线，构建全等三角形，证明△OCE≌△OAD和△EOF≌△DOF，得EF=FD，设AF=x，在直角△EFB中利用勾股定理列方程求出x=$\frac{4}{3}$，根据正方形的边长写出点F的坐标，并求直线OF的解析式．

解答 解：延长BF至D，使AD=CE，连接OD，
∵四边形OABC是正方形，
∴OC=OA，∠OCB=∠OAD，
∴△OCE≌△OAD，
∴OE=OD，∠COE=∠AOD，
∵∠EOF=45°，
∴∠COE+∠FOA=90°-45°=45°，
∴∠AOD+∠FOA=45°，
∴∠EOF=∠FOD，
∵OF=OF，
∴△EOF≌△DOF，
∴EF=FD，
由题意得；OC=4，OE=2$\sqrt{5}$，
∴CE=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=2，
∴BE=2，
设AF=x，则BF=4-x，EF=FD=2+x，
∴（2+x）²=2²+（4-x）²，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
∴F（4，$\frac{4}{3}$），
设OF的解析式为：y=kx，
4k=$\frac{4}{3}$，
k=$\frac{1}{3}$，
∴OF的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x，
故选B．

点评 本题是利用待定系数法求一次函数的解析式，考查了正方形的性质及全等三角形的性质与判定，作辅助线构建全等三角形是本题的关键，利用全等三角形的对应边相等设一未知数，找等量关系列方程，求出点F的坐标，才能运用待定系数法求直线OF的解析式．