Question

【题目】如图1，已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形点分别在轴和轴的正半轴上，连结，，，是的中点.

(1)求OC的长和点的坐标；

(2)如图2，是线段上的点，，点是线段上的一个动点，经过三点的抛物线交轴的正半轴于点，连结交于点

①将沿所在的直线翻折，若点恰好落在上，求此时的长和点的坐标；

②以线段为边，在所在直线的右上方作等边，当动点从点运动到点时，点也随之运动，请直接写出点运动路径的长.

Answer 1

【答案】(1) OC=，点的坐标为；(2) ①点的坐标为，②.

【解析】

（1）由OA=3，tan∠OAC=，得OC= ，由四边形OABC是矩形，得BC=OA=3，所以CD= BC= ，求得D（）；
（2）①由易知得ACB=∠OAC=30°，设将△DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B'处，则DB'=DB=DC，∠BDF=∠B'DF，所以∠BDB'=60°，∠BDF=∠B'DF=30°，所以BF=BDtan30°=，AF=BF=，因为∠BFD=∠AEF，所以∠B=∠FAE=90°，因此△BFD≌△AFE，AE=BD=，点E的坐标（ ，0）；
②动点P在点O时，求得此时抛物线解析式为y=，因此E（，0），直线DE： ，F1（3，）；当动点P从点O运动到点M时，求得此时抛物线解析式为，所以E（6，0），直线DE：

，所以F2（3，）；所以点F运动路径的长为，即G运动路径的长为 ．

(1) ∵，

∴.

∵四边形是矩形，

∴.

∵是的中点，

∴，

∴点的坐标为.

(2) ①∵，

∴，

∴.

设将翻折后，点落在上的处，

则，

∴，

∴，

∴.

∵，

∴.

∵，

∴，

∵，

∴.

∴.

∴，∴点的坐标为.

②动点P在点O时，
∵抛物线过点P（0，0）、

求得此时抛物线解析式为y=

∴E（，0），
∴直线DE： ，
∴F1（3，）；
当动点P从点O运动到点M时，
∵抛物线过点

求得此时抛物线解析式为，
∴E（6，0），
∴直线DE：y=-

∴F2（3，）

∴点F运动路径的长为，
∵△DFG为等边三角形，
∴G运动路径的长为