Question

7．阅读下面材料：
小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．
请回答：
（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；
（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．
请你帮小明计算：OC=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$；tan∠AOD=5；

解决问题：
如图3，计算：tan∠AOD=$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （1）用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；
（2）连接AC、DB、AD、DE．由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；
（3）如图，连接AE、BF，则AF=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{13}$，由△AOE∽△BOF，可以求出AO=$\frac{5\sqrt{13}}{7}$，在Rt△AOF中，可以求出OF=$\frac{4\sqrt{5}}{7}$，故可求得tan∠AOD．

解答 解：（1）如图所示：

线段CD即为所求．
（2）如图2所示连接AC、DB、AD．

∵AD=DE=2，
∴AE=2$\sqrt{2}$．
∵CD⊥AE，
∴DF=AF=$\sqrt{2}$．
∵AC∥BD，
∴△ACO∽△DBO．
∴CO：DO=2：3．
∴CO=$\frac{2}{5}CD=\frac{2}{5}×2\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{2}}{5}$．
∴DO=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$．
∴OF=$\frac{6\sqrt{2}}{5}-\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{5}$．
tan∠AOD=$\frac{AF}{AO}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{5}}=5$．
（3）如图3所示：

根据图形可知：BF=2，AE=5．
由勾股定理可知：AF=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
∵FB∥AE，
∴△AOE∽△BOF．
∴AO：OB=AE：FB=5：2．
∴AO=$\frac{5}{7}AB=\frac{5\sqrt{13}}{7}$．
在Rt△AOF中，OF=$\sqrt{A{O}^{2}-A{F}^{2}}=\sqrt{（\frac{5\sqrt{13}}{7}）^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{7}$．
∴tan∠AOD=$\sqrt{5}÷\frac{4\sqrt{5}}{7}=\frac{7}{4}$．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键．