Question

12．如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点，连结DE．
（1）求证：GE=AG=GD；
（2）试判断直线GE与⊙O的位置关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定可得∠CED=∠AED=90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得结论；
（2）连接OE，根据等边对等角可得∠GED=∠GDE，∠OED=∠ODE，再根据CD是高，∠ODE+∠GDE=90°，利用等量代换可得∠ODE+∠GDE=90°，进而可得结论．

解答 解：（1）∵CD是直径，
∴∠CED=∠AED=90°，
∵点G是AD的中点，
∴GE=AG=GD；

（2）相切，连接OE，
∵GE=GD，
∴∠GED=∠GDE，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∵CD是高，
∴∠ODE+∠GDE=90°，
∴∠ODE+∠GDE=90°，
∴OE⊥GE，
∴GE与⊙O相切．

点评 此题主要考查了圆周角定理，切线的判定，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．