Question

6．如图，在线段AB的同侧有等边△ACD和等边△CBE，AE、DB交于H．求证：DA²=DH•DB．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质求出AC=CD，CE=CB，∠DCA=∠ECB=60°，∠DAC=∠ECB，求出∠ACE=∠DCB=120°，∠DAH=∠AEC，证△ACE≌△DCB，根据全等得出∠AEC=∠ABD，求出∠DAH=∠ABD，证出△ADH∽△BDA，得出比例式，即可得出答案．

解答 证明：∵△ADC和△BCE是等边三角形，
∴AC=CD，CE=CB，∠DCA=∠ECB=60°，∠DAC=∠ECB=60°，
∴∠DCE=60°，AD∥CE，
∴∠ACE=∠DCB=120°，∠DAH=∠AEC，
在△ACE和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB，
∴∠AEC=∠ABD，
∵∠DAH=∠AEC，
∴∠DAH=∠ABD，
∵∠ADH=∠ADB，
∴△ADH∽△BDA，
∴$\frac{DA}{DH}=\frac{DB}{DA}$，
∴DA²=DH•DB．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质的应用，能求出△ADH∽△BDA是解此题的关键．