Question

在△ABC中，若AB＜

1

2

AC，求证：∠ACB＜

1

2

∠ABC．

Answer 1

分析：作∠ABD=∠C，如图，欲证∠ACB＜

1

2

∠ABC，只需∠ACB＜∠DBC，即求证BD＜CD即可．

解答：证明：由于AC＞AB，所以∠B＞∠C．作∠ABD=∠C，如图
欲证∠ACB＜

1

2

∠ABC，只需∠ACB＜∠DBC，
即证BD＜CD．
∵△BAD∽△CAB，
∴

BC

BD

=

AC

AB

＞2，
即BC＞2BD．
又CD＞BC-BD，
∴BC+CD＞2BD+BC-BD，
∴CD＞BD．
从而命题得证．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够通过边角之间的转化熟练求解命题．