Question

如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于E，过O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G．
（1）求证：OF•DE=OE•2OH；
（2）若⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，求阴影部分的面积．（结果保留根号）

Answer 1

（1）证明：∵BD是直径，
∴∠DAB=90°．…
∵FG⊥AB，
∴DA∥FO．
∴△FOE∽△ADE．
∴．
即OF•DE=OE•AD．…
∵O是BD的中点，DA∥OH，
∴AD=2OH．…
∴OF•DE=OE•2OH．…

（2）解：∵⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，
∴OE=4，ED=8，OF=6．…
代入（1）中OF•DE=OE•AD，得AD=12．
∴OH=AD=6．
在Rt△OHB中，OB=2OH，
∴∠OBH=30°，
∴∠BOH=60°．
∴BH=BO•sin60°=12×=6．…
∴S_阴影=S_扇形GOB-S_△OHB=-×6×6=24π-18．
分析：（1）由BD是直径，根据圆周角定理，可得∠DAB=90°，又由FG⊥AB，可得FG∥AD，即可判定△FOE∽△ADE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，然后由O是BD的中点，DA∥OH，可得AD=2OH，则可证得OF•DE=OE•2OH；
（2）由⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，即可求得OE，DE，OF的长，由，求得AD的长，又由在Rt△ABC中，OB=2OH，可求得∠BOH=60°，继而可求得BH的长，又由S_阴影=S_扇形GOB-S_△OHB，即可求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、平行线等分线段定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意证得△FOE∽△ADE是解此题的关键．