Question

如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA＝，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP＝3．若点E是CD边上一动点(点E与C，D不重合)，过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE＝x，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．

(1)求证：四边形ABHP是菱形；

(2)问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；

(3)求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．

Answer 1

 (1)连结OH，如图①．

∵AB∥HP，∠BAD＝90°，∴AQ⊥HP．而AM是直径，

∴HQ＝HP＝．

在Rt△OHQ中，sin∠HOQ＝＝×＝，

∴∠HOQ＝60°，则∠OHQ＝30°，∠APH＝60°．

又BD与⊙O相切，∴∠QHD＝90°－∠OHQ＝60°．∴∠APH＝∠QHD．

∴AP∥BH．

又∵AB∥HP，∴四边形ABHP是平行四边形．

由AB⊥AM，AM是直径知AB是⊙O的切线，而BD也是⊙O的切线，

∴AB＝BH．

∴四边形ABHP是菱形．(注：其它方法，请参照给分)  

(2)G点能落在⊙O上，如图①．

方法一：过C作射线CR⊥EF交EF于R，交AD于M₁，交BD于R₁，交AP于P₁，则C关于EF对称点G在射线CR上．

当G点落在M₁上时，M₁E＝CE＝x，AB＝CD＝HP＝3，AD＝AB·tan60°＝3，ED＝CD－CE＝3－x．

在Rt△M₁DE中，cos60°＝＝＝．解得x＝2．

sin60°＝＝＝，∴M₁D＝．

而MD＝AD－AM＝，∴M₁与M重合．

∴M在CP₁上，则MP₁⊥AP，而MP⊥AP，

∴P与P₁重合，这校射线CR与⊙O交于M，P．

由AP∥BD，CP⊥AP，CR₁＝PR₁，知C与P关于BD对称．

由于点E不与点D重合，故点G不可能落在P点．

∴点G只能落在⊙O的M点上，此时x＝2．

方法二：连结CM，PM，如图①，由(1)知∠AMP＝∠APH＝60°，tan∠CMD＝＝＝．∴∠CMD＝∠AMP＝60°．

∴C，M，P三点共线．

∵∠BDA＝30°，∴CM⊥BD．而BD∥EF，

∴CM⊥EF，点C关于EF的对称点G落在CP上．

又∵点P到BD的距离等于点C到BD的距离(即点A到BD的距离)，EF与BD不重合，∴点G不能落在P点，可以落在⊙O上的M点．

当点G落在⊙O上的M点时，ME＝CE＝x，

在Rt△MDE中，x＝＝×＝2．

∴点G落在床⊙O上的M点，此时x＝2．

方法三：证法略．

提示：过C作C′P⊥AP于P′，交BD于R′，可求CP′＝2CR′＝3，PM＋CM＝3，则CP′＝CM＋MP，从而C，M，P三点共线，x的值求法同上．

(3)由(2)知：①当点G在CM上运动时，0＜x≤2，

S＝x·x＝x²．

②当点G在PM上运动时，2＜x＜3，设FG交AD于T，EG交AD于N，如图②，

则：EG＝CE＝x，ED＝3－x，S_△EFG＝CE·CF＝x²．

NE＝＝6－2x，GN＝GE－NE＝3x－6．

∵TG＝GN·tan30°＝(3x－6)×＝x－2．

S＝S_△EFG－S_△TGN＝x²－x²＋6x－6

＝－x²＋6x－6．

综上所述，S＝

当FG与⊙O相切时，S＝－6．