Question

如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长．

Answer 1

（1）证明：∵PA切⊙O于点A，

∴∠MAP=90°，

∴∠P+M=90°．

∵∠COB=∠APB，

∴∠M+∠MOB=90°，

∴∠MOB=90°，即OB⊥PB，

∵PB经过直径的外端点，

∴PB是⊙O的切线；

（2）∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，

∴△OBM∽△APM，

∴==，

=  ①，

=   ②

联立①②得，

解得，

当OB=3，PA=6时，MB=4，MC=2．