Question

如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转，得到线段AB．过点B作轴的垂线，垂足为E，过点C作轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为秒．

（1）当点B与点D重合时，求的值；
（2）设△BCD的面积为S，当为何值时，?
（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．

Answer 1

（1）（2）或（3）＜＜

解：（1）∵，，
∴．
∴Rt△CAO∽Rt△ABE．·························· 2分
∴．
∴．∴．························· 3分
（2）由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：，．··········· 4分
当0＜＜8时，．
∴．····························· 6分
当＞8时，．
∴，（为负数，舍去）．
当或时，．······················ 8分

（3）过M作MN⊥轴于N，则．
当MB∥OA时，，．··············· 9分
抛物线的顶点坐标为（5，）．············· 10分
它的顶点在直线上移动．
直线交MB于点（5，2），交AB于点（5，1）．············· 11分
∴1＜＜2．
∴＜＜． 12分