Question

13．若将一个长方形木块锯掉一个与它相似的长方形的小木板，剩下的木板为一个面积等于64的正方形，则原长方形的面积是32•（1+$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 根据正方形的面积可求出正方形的边长，设AF=a，则AD=AF+DF=8+a，根据长方形相似可得出关于a的分式方程，解方程即可求出a的值，再利用长方形的面积公式即可求出长方形的面积．

解答 解：依照题意画出图形，如图所示．
∵CDFE为面积等于64的正方形，
∴AB=CE=DF=8．
设AF=a，则AD=AF+DF=8+a，
∵长方形ABEF与长方形ADCB相似，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{AD}$，即$\frac{a}{8}=\frac{8}{8+a}$，
解得：a=4$\sqrt{5}$-4或a=-4$\sqrt{5}$-4（舍去），
经检验a=4$\sqrt{5}$-4是方程$\frac{a}{8}=\frac{8}{8+a}$的解．
∴S=AB•AD=8×（8+4$\sqrt{5}$-4）=32•（1+$\sqrt{5}$）．
故答案为：32•（1+$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质以及正方形的性质，解题的关键是找出关于a的分式方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似多边形的性质找出对应线段间的关系是关键．