题目内容

已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如图甲摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.∠BAC=∠DEF=90°,∠ABC=45°,BC=9cm,DE=6cm,EF=8cm.如图乙,△DEF从图甲的位置出发,以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△DEF的顶点F出发,以3cm/s的速度沿FD向点D匀速移动.当点P移动到点D时,P点停止移动,△DEF也随之停止移动.DE与AC相交于点Q,连接BQ、PQ,设移动时间为t(s).解答下列问题:
(1)设三角形BQE的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(2)当t为何值时,三角形DPQ为等腰三角形?
(3)是否存在某一时刻t,使P、Q、B三点在同一条直线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.
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分析:(1)在Rt△DEF中由勾股定理可以得到DF=10.同理,在Rt△ABC中,∠ABC=45°,所以△ABC为等腰直角三角形;由DE⊥BC,∠ACB=45°,知△QEC也是等腰直角三角形,所以,QE=CE=t,则BE=BC-CE=9-t;则△BQE的面积y=
1
2
BE•QE(0<t≤
10
3
);
(2)在Rt△DEF中,DE=6,DF=10,所以,cos∠D=
3
5
,sin∠D=
4
5
;在Rt△PDG中,通过sin∠D求得PG、cos∠D解得DG,
那么GQ=DQ-DG;在Rt△PGQ中,利用勾股定理,求得PQ2.若△DPQ为等腰三角形时,分三种情况:①若DP=DQ;②若DP=PQ;③当DQ=PQ时;
(3)①当t=0时,点B、P、Q在同一条直线上;
②当B、Q、P在同一直线上时,过点P作DE的垂线,垂足为G,则PG∥BE,△DPG∽△DFE;然后由相似三角形的对应边成比例求得 PG、DG的值,而DQ=6-t,所以求得GQ=DQ-DG的值,根据平行线的判定定理知GP∥BE,可证△GPQ∽△QBE,所以,
GP:BE=GQ:EQ,从而解得t=
1
2
,点B、Q、P在同一直线上.
解答:精英家教网解:(1)∠ACB=45°,∠DEF=90°,
∴∠EQC=45°.
∴EC=EQ=t,
∴BE=9-t.
y=
1
2
BE•EQ=
1
2
(9-t)t
,(2分)
即:y=-
1
2
t2+
9
2
t
0<t≤
10
3
)(1分)

(2)①当DQ=DP时,∴6-t=10-3t,解得:t=2s.(2分)
②当PQ=PD时,过P作PH⊥DQ,交DE于点H,
则DH=HQ=
6-t
2
,由HP∥EF,
DH
DE
=
DP
DF
6-t
2
6
=
10-3t
10
,解得t=
30
13
s(2分)精英家教网
③当QP=QD时,过Q作QG⊥DP,交DP于点G,
则GD=GP=
10-3t
2
,可得:△DQG∽△DFE,
DG
DE
=
DQ
DF
,则
10-3t
2
6
=
6-t
10

解得t=
14
9
s(2分)

(3)假设存在某一时刻t,
使点P、Q、B三点在同一条直线上.
则,过P作PI⊥BF,交BF于点I,
∴PI∥DE,精英家教网
于是:
PI
DE
=
FP
FD

PI=
9
5
t
FI=
12
5
t

QE
PI
=
BE
BI
,则
t
9
5
t
=
9-t
9-t+8-
12
5
t

解得:t=
1
2
s.
答:当t=
1
2
s,点P、Q、B三点在同一条直线上.(3分)
点评:本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例.解答(2)题时,需注意分类讨论,全面考虑等腰三角形的腰与底的各种情况.
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