Question

【题目】己知抛物线与x轴交于A，B两点（点d在点B的右侧），与y轴交于点，顶点为D.

（I）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标：

（Ⅱ）Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A'，

①判断点A'与直线BQ的位置关系：点 （填写“在”或“不在”）直线BQ上：

②若，求点2的坐标：

（Ⅲ）若此抛物线的对称轴上的点P满足，求点P的坐标。

Answer 1

【答案】（I），顶点D的坐标为；（II）①在； ②点Q的坐标为；（Ⅲ）点P的坐标为或

【解析】

（1）将C点代入函数解析式，可求出解析式，并进行配方，即可得到定点坐标；

（2）①由对称的角度特点及角平线即可判断A'与直线BQ的位置关系；

②先求出抛物线与x轴胡交点，在求出BD的解析式，从而得到E点坐标，根据，A’点坐标，从而，建立方程即可求解.

（3）作△ABC的外接圆，由题意可知P在圆I与二次函数的对称轴上，再根据内心的特点得，从而建立方程得到I胡坐标，根据即可求解.

解：（I）把点C的坐标代入地物线解析式，得，

解得

故该抛物线的解析式为

∴顶点D的坐标为

（II）①在

②∵点A关于的平分线的对称点为

三点在一条直线上，且

当时，

解得

设直线BD的解析式为，

由，得直线BD的解析式为

直线BD与y轴交点为

作轴于点N

∵点Q在线段BD上，三点在一条直线上，

∴点的坐标为

∵点Q在线段BD上，

设点Q的坐标为，其中

解得

在内

∴点Q的坐标为

（Ⅲ）作△ABC的外接圆，设与抛物线的对轴位于x轴下方的部分的交点为点P，点P关于x轴的对称点为点

可知圆心I必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称辅直线上

都是所对的圆周角，

设圆心

由，得

点P的坐标为

由对称性得点的坐标为

符合题意的点P的坐标为或