Question

如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，AF=40m，AE=30m．
（1）如果设矩形的一边AB=x m，那么AD边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为y m²，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

Answer 1

（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，DC∥AF，
∵AF=40m，AE=30m，AB=xm，
∴CD=xm，
∵CD∥AF，
∴△EDC∽△EAF，
∴，
∴，
∴DE=x，
∴AD=30-x；

（2）∵矩形铁皮的面积：
y=AD×AB=x×（30-x）=-（x-20）²+300（0＜x＜40），
∴x=20时，最大面积y为300cm²．
分析：（1）由矩形的性质可知：DC∥AF，所以△EDC∽△EAF，相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到AD和AB的关系，
（2）利用（1）中的关系式进而可表示出矩形面积，再利用配方法，求出最大值即可．
点评：本题考查了二次函数模型的构建以及相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是构建二次函数模型，利用配方法求函数的最值．