题目内容
如图，在平面直角坐标系中，直线
与
轴，
轴分别交于点A，点B，动点P
在第一象限内，由点P向轴，轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P运动时，矩形PMON的面积为定值2．
（1）求
的度数；
（2）求证：△
∽△
；
（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段
AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角
形的外接圆面积为
，△
的面积为
．
试探究：
是否存在最小值？若存在，
请求出该最小值；若不存在，请说明理由．
解：（1）
45°；
（2）由题意可得：点
，点
，
， 
,
45°，由
得，
即
所以
∽
；
当点F在第二象限或点E在第四象限时，同理可证.
（3）设
的面积分别是
显然
均为等腰直角三角形，从而它们都相似，故由相似三角形的性质可得到：
， 
由于
从而有 
得到 
，
故以三线段AE,EF,BF所组成的三角形为直角三角形.
（或代数计算或翻折或旋转等方法同样可证得）
故 
，
,
从而
，
令
，
；
当
，
时，
，
，当且仅当
时取“=”，
则
，当且仅当
时，等号成立；·· 9分
根据二次函数的图象与性质，可得：
当
时，
有最小值为：
.
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