Question

14．在Rt△AOD中，∠AOD=90°，点B、C在OD上，且OA=OB=BC=CD，求证：∠1+∠2+∠3=90°．

Answer 1

分析 由已知条件∠AOD=90°，设OA=OB=BC=CD=x，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{2}$x，AC=$\sqrt{5}$x，AD=$\sqrt{10}$x，OC=2x，OD=3x，BD=2x，证得$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{AC}{DA}$，得到△ABC∽△DBA，根据相似三角形的性质得到∠3=∠BAC，由三角形的外角的性质得到∠1=∠BAC+∠2=45°，即可得到结论．

解答 证明：∵∠AOD=90°，设OA=OB=BC=CD=x
∴AB=$\sqrt{2}$x，AC=$\sqrt{5}$x，AD=$\sqrt{10}$x，OC=2x，OD=3x，BD=2x
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}x}{2x}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BC}{AB}$=$\frac{x}{\sqrt{2}x}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{DA}$=$\frac{\sqrt{5}x}{\sqrt{10}x}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{AC}{DA}$，
∴△ABC∽△DBA，
∴∠3=∠BAC，
∵∠1=∠BAC+∠2=45°，
∴∠3+∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°．

点评 此题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．