题目内容

如图，BP，CP分别是△ABC的∠ABC，∠ACB的内角或相邻外角平分线，请你根据下面的三种情形分别画出点P到△ABC三边所在的直线的距离．

答案：
解析：

如图：


练习册系列答案
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探索下列∠A与∠P之间的关系，并说明理由．
（1）如图①，BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB；
（2）如图②，BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB的补角：
（3）如图③，BP平分∠ABC的补角、CP平分∠ACB的补角．
如图BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，请你探索∠A和∠P的数量关系．
解：∵BP平分∠ABC（已知）
∴∠PBC=
1
2
∠ABC （
角平分线的定义
角平分线的定义
）．
同理可得∠PCB=
1
2
∠ACB
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°（
三角形的内角和等于180°
三角形的内角和等于180°
）
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB （等式的性质）
=180°-
1
2
（∠ABC+∠ACB ） （
等量代换
等量代换
）
=180°-
1
2
（180°-∠
A
A
）
=90°+
1
2
∠
A
A
．
如图①，BO、CO分别为∠ABC和∠ACB的平分线，我们易得∠BOC=90°+
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∠A（不必证明，本题可直接运用）；在图②中，当BO′、CO′分别为∠ABC和∠ACB的外角平分线时，求∠BO′C与∠A的数量关系．我们可以利用“转化”的思想，将未知的∠BO′C转化为已知的∠BOC：如图②，作BO、CO平分∠ABC和∠ACB．

（1）在图②中存在如图③的基本图形：点A、B、D在同一直线上，且BO、BO′分别平分∠ABC和∠DBC，试证明：BO⊥BO′；
（2）试直接利用上述基本图形的结论，猜想并证明图②中∠BO′C与∠A的数量关系；
（3）如图④，BP、CP分别为内角∠ABC和外角∠ACF的平分线，试运用上述转化的思想猜想并证明∠BPC与∠A的数量关系．

如图①，BO、CO分别为∠ABC和∠ACB的平分线，我们易得∠BOC=90°+数学公式∠A（不必证明，本题可直接运用）；在图②中，当BO′、CO′分别为∠ABC和∠ACB的外角平分线时，求∠BO′C与∠A的数量关系．我们可以利用“转化”的思想，将未知的∠BO′C转化为已知的∠BOC：如图②，作BO、CO平分∠ABC和∠ACB．

（1）在图②中存在如图③的基本图形：点A、B、D在同一直线上，且BO、BO′分别平分∠ABC和∠DBC，试证明：BO⊥BO′；
（2）试直接利用上述基本图形的结论，猜想并证明图②中∠BO′C与∠A的数量关系；
（3）如图④，BP、CP分别为内角∠ABC和外角∠ACF的平分线，试运用上述转化的思想猜想并证明∠BPC与∠A的数量关系．

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