Question

5．如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，DE⊥AB，交AC于点F，则EF=$\frac{21}{20}$．

Answer 1

分析 根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可以求得该菱形的面积．菱形的面积还等于底乘以高，求出可得DE的长度，再由勾股定理求出AE，证明△AEF∽△AOB，得出对应边成比例，即可求出EF的长．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，AB=AD，
∴AC⊥OD，AO=$\frac{1}{2}$AC=4，BO=$\frac{1}{2}$BD=3，
∴由勾股定理得到：AD=AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=5，
又∵DE⊥AB，
∴$\frac{1}{2}$AC•BD=AB•DE．
∴DE=$\frac{AC•BD}{2AB}$=$\frac{8×6}{2×5}$=$\frac{24}{5}$．
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
∵∠AOB=∠AEF=90°，∠EAF=∠OAB，
∴△AEF∽△AOB，
∴$\frac{EF}{BO}=\frac{AE}{AO}$，
即$\frac{EF}{3}=\frac{\frac{7}{5}}{4}$，
解得：EF=$\frac{21}{20}$；
故答案为：$\frac{21}{20}$．

点评 本题考查了菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、菱形面积的计算；熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．